Калькулятор площади произвольного четырёхугольника рассчитывает площадь по нескольким наборам данных: по диагоналям и углу между ними, по четырём сторонам и сумме противоположных углов, по сторонам циклического четырёхугольника, по сторонам и диагонали, а также по координатам вершин.
Когда нужен этот расчёт
Площадь произвольного четырёхугольника нельзя однозначно найти только по четырём сторонам: при тех же сторонах площадь меняется вместе с углами. Поэтому для общего случая нужен дополнительный параметр: диагональ, угол, координаты вершин или условие, что четырёхугольник циклический.
Результат показывает площадь в выбранной квадратной единице. Если исходных данных достаточно, дополнительно выводятся периметр, полупериметр, диагонали, метод расчёта и пересчёт площади в квадратные метры и квадратные сантиметры.
Входные данные
В режиме диагоналей нужны две диагонали \(p\), \(q\) и угол \(\varphi\) между ними. Угол можно задавать в градусах или радианах.
Для расчёта по четырём сторонам с углами задаются стороны \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и сумма противоположных углов \(A + C\). Для циклического четырёхугольника используются те же четыре стороны, но принимается условие, что все вершины лежат на одной окружности.
В режиме стороны и диагонали задаются стороны \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и диагональ \(AC\). В координатном режиме используются точки \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\), \(D(x_4, y_4)\), заданные в порядке обхода.
Формулы
Если известны диагонали и угол между ними, применяется формула:
$$ S = \frac{p q \sin \varphi}{2} $$
Для четырёх сторон и суммы противоположных углов используется формула Бретшнайдера:
$$ S^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \frac{A+C}{2} $$
где полупериметр:
$$ s = \frac{a+b+c+d}{2} $$
Для циклического четырёхугольника формула Бретшнайдера переходит в формулу Брахмагупты:
$$ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$
Для тех же четырёх сторон это максимальная возможная площадь, потому что циклический четырёхугольник даёт предельный случай при \(A + C = 180^\circ\).
Если известна диагональ \(AC\), фигура разбивается на два треугольника:
$$ S = S_{ABC} + S_{CDA} $$
Площадь каждого треугольника находится по формуле Герона:
$$ S_{\triangle} = \sqrt{s_{\triangle}(s_{\triangle}-x)(s_{\triangle}-y)(s_{\triangle}-z)} $$
Для координат вершин применяется формула Гаусса:
$$ S = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{4}(x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1})\right| $$
где после четвёртой вершины снова берётся первая: \(x_5 = x_1\), \(y_5 = y_1\).
Ограничения
Все длины должны быть положительными, а самая длинная сторона должна быть меньше суммы остальных сторон. Угол между диагоналями должен быть больше \(0^\circ\) и меньше \(180^\circ\).
В координатном режиме вершины нужно задавать по обходу периметра. Если порядок точек даёт самопересечение или нулевую площадь, такой набор данных не описывает корректный простой четырёхугольник для этой модели расчёта.