Калькулятор периметра эллипса находит длину контура по известным полуосям, полным осям, площади с дополнительным параметром, эксцентриситету, фокусному расстоянию или знаменателям канонического уравнения. Основной результат считается численно через полный эллиптический интеграл второго рода, а рядом выводятся приближения Рамануджана и связанные параметры эллипса.
Периметр эллипса \(P\) зависит от большой полуоси \(a\) и малой полуоси \(b\). Для эллипса, в отличие от окружности, нет простой элементарной формулы, поэтому численный метод берётся как основной:
$$ P = 4aE(e^2) $$
где \(E(e^2)\) — полный эллиптический интеграл второго рода, а эксцентриситет \(e\) вычисляется через полуоси:
$$ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} $$
В практических задачах часто используют приближение Рамануджана II. Для него сначала считается вспомогательный параметр:
$$ h = \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 $$
Затем периметр оценивается так:
$$ P_R \approx \pi(a+b)\left(1 + \frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}}\right) $$
Калькулятор также показывает приближение Рамануджана I:
$$ P_{R1} \approx \pi\left(3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right) $$
Если заданы полные оси \(A\) и \(B\), перед расчётом они переводятся в полуоси:
$$ a = \frac{A}{2}, \qquad b = \frac{B}{2} $$
Если известны площадь \(S\) и большая полуось \(a\), малая полуось восстанавливается из формулы площади эллипса:
$$ S = \pi ab, \qquad b = \frac{S}{\pi a} $$
Если известны площадь и отношение \(k = a/b\), полуоси находятся так:
$$ b = \sqrt{\frac{S}{\pi k}}, \qquad a = kb $$
Если задана большая полуось и эксцентриситет, малая полуось равна:
$$ b = a\sqrt{1-e^2} $$
Если задано фокусное расстояние \(c\), используется связь:
$$ c^2 = a^2-b^2, \qquad b = \sqrt{a^2-c^2} $$
Для канонического уравнения вида
$$ \frac{x^2}{M} + \frac{y^2}{N} = 1 $$
полуоси берутся из знаменателей:
$$ a = \sqrt{\max(M,N)}, \qquad b = \sqrt{\min(M,N)} $$
После восстановления полуосей калькулятор возвращает периметр эллипса, большую и малую полуоси, площадь, эксцентриситет, фокусное расстояние и сравнение методов. Такой формат полезен для чертежей, дизайна, разметки и учебных задач, где важно видеть не только итоговую длину контура, но и параметры, из которых она получена.
Ограничения расчёта следуют из геометрии эллипса: \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \ge b\), \(0 \le e < 1\), \(0 \le c < a\), \(k \ge 1\), а площадь и знаменатели уравнения должны быть положительными. При \(a = b\) эллипс становится окружностью, и формула сводится к длине окружности \(P = 2\pi a\).