Объём произвольного параллелепипеда можно считать по векторам, по трём рёбрам и углам между ними, по площади основания и высоте или по сторонам параллелограммного основания с углом и высотой. В отличие от прямоугольного параллелепипеда, здесь рёбра могут быть наклонены, поэтому важно использовать перпендикулярную высоту или углы между рёбрами.
Векторная формула использует смешанное произведение трёх векторов рёбер:
$$ V = \left|\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)\right| $$
Если известны длины трёх рёбер \(a\), \(b\), \(c\) и углы между ними, объём находится по формуле:
$$ V = abc\sqrt{1 + 2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma} - \cos^2{\alpha} - \cos^2{\beta} - \cos^2{\gamma}} $$
Здесь \(\alpha\) — угол между рёбрами \(b\) и \(c\), \(\beta\) — между \(a\) и \(c\), \(\gamma\) — между \(a\) и \(b\). Выражение под корнем должно быть положительным, иначе заданные рёбра и углы не образуют невырожденный параллелепипед.
Если известна площадь основания \(S_{\text{осн}}\) и перпендикулярная высота \(h\), используется короткая формула:
$$ V = S_{\text{осн}}h $$
В этом режиме можно выполнить и обратные расчёты:
$$ h = \frac{V}{S_{\text{осн}}}, \qquad S_{\text{осн}} = \frac{V}{h} $$
Если основание задано двумя сторонами \(a\), \(b\) и углом \(\gamma\), сначала считается площадь основания:
$$ S_{\text{осн}} = ab\sin{\gamma} $$
Тогда объём равен:
$$ V = ab\sin{\gamma}\,h $$
Для обратных задач в этом режиме:
$$ a = \frac{V}{b h\sin{\gamma}}, \qquad b = \frac{V}{a h\sin{\gamma}} $$
А угол основания можно восстановить через синус:
$$ \sin{\gamma} = \frac{V}{abh} $$
Значение \(\frac{V}{abh}\) должно быть больше 0 и не больше 1. При восстановлении угла возможен дополнительный вариант \(180^\circ-\gamma\), потому что синусы дополнительного острого и тупого углов совпадают.
Калькулятор возвращает выбранную величину, объём, площадь основания, высоту, стороны и угол основания для поддержанных режимов, площади граней, площадь поверхности и ориентированный определитель в векторном режиме. Масса, плотность, невыпуклые тела и произвольные многогранники не входят в scope этой страницы.