Калькулятор объёма призмы рассчитывает объём \(V\) для прямой призмы по площади основания и высоте, а также по параметрам треугольного основания или правильного многоугольника. Если объём уже известен, инструмент может восстановить высоту призмы, площадь основания или отдельный параметр основания в тех режимах, где такая обратная формула однозначна.
Базовая формула объёма призмы:
$$ V = S_{\text{осн}} \cdot h $$
где \(S_{\text{осн}}\) — площадь одного основания, а \(h\) — перпендикулярное расстояние между двумя равными параллельными основаниями.
Входные данные
Если площадь основания уже известна, используются только \(S_{\text{осн}}\) и \(h\). Для треугольной призмы калькулятор сначала находит площадь основания, затем умножает её на высоту призмы.
Для треугольника по основанию \(b\) и высоте \(h_t\):
$$ S_{\text{осн}} = \frac{b \cdot h_t}{2} $$
$$ V = \frac{b \cdot h_t \cdot h}{2} $$
Для прямоугольного треугольника по катетам \(a\) и \(b\):
$$ S_{\text{осн}} = \frac{a \cdot b}{2} $$
$$ V = \frac{a \cdot b \cdot h}{2} $$
Для треугольника по трём сторонам применяется формула Герона. Сначала считается полупериметр:
$$ p = \frac{a+b+c}{2} $$
Затем площадь основания:
$$ S_{\text{осн}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
и объём:
$$ V = S_{\text{осн}} \cdot h $$
Для правильного \(n\)-угольника со стороной \(a\):
$$ S_{\text{осн}} = \frac{n a^2}{4\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} $$
$$ V = \frac{n a^2 h}{4\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} $$
Обратный расчёт
Когда известны объём и площадь основания, высота призмы восстанавливается так:
$$ h = \frac{V}{S_{\text{осн}}} $$
Если известны объём и высота, площадь основания равна:
$$ S_{\text{осн}} = \frac{V}{h} $$
В режимах треугольного основания можно восстановить основание или высоту треугольника, если второй параметр и высота призмы известны:
$$ b = \frac{2V}{h_t h}, \qquad h_t = \frac{2V}{b h} $$
Для правильного многоугольника можно найти сторону основания:
$$ a = \sqrt{\frac{4V\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{n h}} $$
Результат и ограничения
Основной результат выводится в выбранной единице объёма. Дополнительно показываются площадь основания \(S_{\text{осн}}\), высота призмы \(h\), а для оснований с вычислимым периметром — периметр основания \(P_{\text{осн}}\), боковая и полная поверхность.
Боковая поверхность прямой призмы считается по формуле:
$$ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h $$
Полная поверхность:
$$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} $$
Все длины, площади и объём должны быть положительными. Для треугольника по трём сторонам должны выполняться неравенства:
$$ a + b > c,\quad a + c > b,\quad b + c > a $$
Для правильного многоугольника число сторон \(n\) должно быть целым и не меньше \(3\). Линейные параметры вводятся в выбранной единице длины, площадь основания — в квадрате этой единицы, а объём можно вывести в кубических единицах или литрах.