Калькулятор объёма пирамиды рассчитывает объём по площади основания и перпендикулярной высоте. В поддержанных режимах калькулятор объёма пирамиды восстанавливает высоту, площадь основания, сторону основания, апофему или боковое ребро из известных параметров. Базовая формула одинакова для любой пирамиды:
$$ V = \frac{S_{\text{осн}}h}{3} $$
Здесь \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, а \(h\) — высота, проведённая перпендикулярно плоскости основания. Если известны объём и площадь основания, высота восстанавливается обратной формулой:
$$ h = \frac{3V}{S_{\text{осн}}} $$
Когда площадь основания уже дана числом, расчёт не зависит от формы основания. Для квадратного основания со стороной \(a\):
$$ S_{\text{осн}} = a^2,\qquad V = \frac{a^2h}{3} $$
Для прямоугольного основания со сторонами \(a\) и \(b\):
$$ S_{\text{осн}} = ab,\qquad V = \frac{abh}{3} $$
Если основание треугольное и известны три стороны \(a\), \(b\), \(c\), сначала применяется формула Герона:
$$ p = \frac{a + b + c}{2} $$
$$ S_{\text{осн}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
Для правильного \(n\)-угольника со стороной \(a\) площадь основания равна:
$$ S_{\text{осн}} = \frac{na^2}{4\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} $$
Тогда объём правильной пирамиды считается так:
$$ V = \frac{na^2h}{12\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} $$
Для правильной квадратной пирамиды можно использовать апофему \(l\) или боковое ребро \(e\), но сначала нужно восстановить именно перпендикулярную высоту. По апофеме:
$$ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} $$
По боковому ребру:
$$ h = \sqrt{e^2 - \frac{a^2}{2}} $$
После восстановления высоты используется та же формула \(V = S_{\text{осн}}h / 3\). Апофема должна быть больше половины стороны основания, а боковое ребро — больше половины диагонали квадратного основания; иначе правильная квадратная пирамида с такими параметрами не существует.
Усечённая пирамида и координатная задача относятся к другим моделям. У усечённой пирамиды используются две площади оснований, а объём по координатам вершин считается через векторы или определитель.