Сумма арифметической прогрессии отвечает на вопрос, чему равна сумма первых \(n\) членов, если известны первый член \(a_1\), разность \(d\), последний член \(a_n\) или сама сумма \(S_n\). На этой странице главный сценарий связан именно с \(S_n\): прямой расчет суммы и обратные задачи по известной сумме.
Как считается сумма
Если известны первый член, разность и количество членов, используется формула:
$$S_n = \frac{n\left(2a_1 + (n - 1)d\right)}{2}$$
Если известны первый и последний член, удобнее использовать формулу через крайние члены:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
Последний член при этом связан с первым членом и разностью:
$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
Например, при \(a_1 = 2\), \(d = 3\), \(n = 5\):
$$S_5 = \frac{5\left(2\cdot 2 + (5 - 1)\cdot 3\right)}{2} = 40$$
Обратные задачи
Калькулятор также решает обратные сценарии, когда сумма уже известна, а нужно найти один из параметров прогрессии. Для первого члена используется:
$$a_1 = \frac{S_n}{n} - \frac{(n - 1)d}{2}$$
Для последнего члена:
$$a_n = \frac{2S_n}{n} - a_1$$
Для разности при \(n > 1\):
$$d = \frac{\frac{2S_n}{n} - 2a_1}{n - 1}$$
Для поиска номера \(n\) калькулятор решает квадратное уравнение:
$$\frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n - S_n = 0$$
Что важно для результата
Номер \(n\) должен быть натуральным числом. Разность \(d\) может быть положительной, отрицательной или равной нулю: при \(d = 0\) прогрессия постоянная, а сумма равна \(S_n = a_1 n\). Для проверки результата ниже основного ответа показываются подстановка, последний член, среднее крайних членов, график частичных сумм и таблица \(k\), \(a_k\), \(S_k\).