Калькулятор арифметической последовательности закрывает общий сценарий по прогрессии: можно найти \(a_n\), сумму \(S_n\), первый член \(a_1\), разность \(d\) или натуральный номер \(n\). Это broad-страница для арифметической последовательности, где прямые и обратные режимы собраны в одном инструменте.
Основные связи
Арифметическая последовательность — это ряд чисел, в котором каждый следующий член получается прибавлением одной и той же разности \(d\). \(n\)-й член считается так:
$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
Сумма первых \(n\) членов через первый и последний член:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
Та же сумма через первый член и разность:
$$S_n = \frac{n\left(2a_1 + (n - 1)d\right)}{2}$$
Что можно найти
По \(a_1\), \(d\) и \(n\) калькулятор сразу показывает \(a_n\) и \(S_n\). Если один из параметров неизвестен, используются обратные формулы. Для первого члена по \(a_n\):
$$a_1 = a_n - (n - 1)d$$
Для разности по \(a_n\):
$$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$$
Для номера по \(a_n\):
$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$
Для обратных задач по сумме применяются:
$$a_1 = \frac{S_n}{n} - \frac{(n - 1)d}{2}$$
$$d = \frac{\frac{2S_n}{n} - 2a_1}{n - 1}$$
При поиске \(n\) по сумме решается квадратное уравнение:
$$\frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n - S_n = 0$$
Ограничения и проверка
Номер \(n\) — натуральное число. Если обратная формула дает дробный, нулевой или отрицательный номер, такой номер не подходит для этой последовательности. Разность \(d\) может быть положительной, отрицательной или нулевой: при \(d = 0\) все члены равны \(a_1\), а сумма равна \(S_n = a_1 n\). Таблица и график ниже результата нужны для проверки первых членов и визуального изменения последовательности.