Как найти площадь равностороннего треугольника
У равностороннего треугольника три равные стороны, три угла по 60°, а высота одновременно является медианой и биссектрисой. Если известна сторона \(a\), площадь считается через квадрат стороны:
$$ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$
Этот способ удобен, когда дана длина стороны, но тот же треугольник можно восстановить и по другим связанным величинам.
Формулы для разных исходных данных
Если известна высота \(h\), сначала находится сторона:
$$ a = \frac{2h}{\sqrt{3}} $$
Если известен периметр \(P\), сторона равна:
$$ a = \frac{P}{3} $$
Если известна площадь \(S\), обратная формула для стороны:
$$ a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} $$
Радиусы окружностей тоже связаны со стороной. Для вписанной окружности:
$$ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} $$
Для описанной окружности:
$$ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} $$
После восстановления стороны можно получить высоту, периметр, площадь и оба радиуса в выбранных единицах.
Что важно проверить в задаче
Исходное значение должно быть положительным. Если вводится уже известная площадь, единица длины задаёт соответствующую квадратную единицу: например, при выборе сантиметров площадь читается как квадратные сантиметры. Для равностороннего треугольника всегда выполняется связь \(R = 2r\), поэтому радиусы можно использовать как взаимную проверку результата.