Как работает калькулятор квадратных уравнений
Квадратное уравнение приводят к виду:
$$ ax^2 + bx + c = 0,\quad a \ne 0 $$
Калькулятор принимает уравнение целиком или отдельные коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\). После приведения к стандартному виду он считает дискриминант, определяет тип корней, показывает вершину параболы, ось симметрии, формулы Виета и точки для проверки графика.
Решение через дискриминант
Главный шаг решения — вычислить дискриминант:
$$ D = b^2 - 4ac $$
Дальше результат зависит от знака \(D\):
- если \(D > 0\), у уравнения два действительных корня;
- если \(D = 0\), есть один двойной действительный корень;
- если \(D < 0\), действительных корней нет, но есть два комплексных корня.
Для двух действительных корней используется формула:
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$
Например, для уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\):
$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 $$
$$ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 $$
Комплексные корни
Если \(D < 0\), квадратный корень из дискриминанта записывают через мнимую единицу \(i\):
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a} $$
На графике в этом случае парабола не пересекает ось \(X\). Калькулятор все равно показывает комплексную пару и оставляет таблицу контрольных точек, чтобы было видно положение параболы.
Вершина, ось симметрии и проверка
Ось симметрии параболы находится по формуле:
$$ x = \frac{-b}{2a} $$
Координата вершины по \(Y\) получается подстановкой этого значения в функцию:
$$ y = ax^2 + bx + c $$
Для действительных корней дополнительно можно проверить формулы Виета:
$$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a},\quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$
Особые случаи и ограничения
Если \(a = 0\), выражение перестает быть квадратным. Тогда калькулятор решает линейный случай \(bx + c = 0\), показывает тождество \(0 = 0\) или противоречие без решений.
Инструмент рассчитан на уравнения одной переменной не выше второй степени. Он не решает системы уравнений, тригонометрические выражения, логарифмы и деление на выражение с переменной.