Комплексное число записывают в алгебраической форме:
$$z=a+bi,\quad i^2=-1$$
где \(a\) - действительная часть, а \(b\) - мнимая часть. Калькулятор работает с числами в этой форме и показывает результат также в полярной, тригонометрической и показательной записи.
Что считает калькулятор
Инструмент выполняет базовые операции с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, сопряжение, обратное число, целую степень и все корни \(n\)-й степени. Для двух чисел
$$z_1=a+bi,\quad z_2=c+di$$
используются стандартные правила:
$$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$$
$$z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
Для деления знаменатель проверяется отдельно, потому что делить на \(0+0i\) нельзя:
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}$$
Модуль, аргумент и формы записи
После расчета страница показывает модуль и аргумент комплексного числа:
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$
$$\varphi=\operatorname{atan2}(b,a)$$
Тот же результат можно читать как точку на комплексной плоскости, как полярную форму \(r\angle\varphi\), как тригонометрическую форму
$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$
и как показательную форму:
$$z=re^{i\varphi}$$
Степени и корни
Для целой степени используется повторное умножение комплексного числа. Для корней \(n\)-й степени калькулятор показывает все корни:
$$z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1$$
Корни также выводятся таблицей и отмечаются на комплексной плоскости, чтобы было видно их равномерное расположение по аргументу.
Ограничения
Страница предназначена для числовых расчетов с комплексными числами, а не для символьной алгебры. Она не раскрывает выражения с переменными, не решает уравнения и не заменяет CAS. Для перевода одного комплексного числа между формами без арифметических операций используйте соседний конвертер форм комплексного числа.